对比一：等比数列与等差数列
等比数列看“除法”：aₙ₊₁/aₙ=q；等差数列看“减法”：aₙ₊₁-aₙ=d。比如5、15、45、135的公比是3；5、15、25、35的公差是10。两者开头相同，后面的增长速度却完全不同。
有人问，常数列算哪一种？若每项都是非零常数，它既是公差为0的等差数列，也是公比为1的等比数列。若每项都是0，按常用等比定义会遇到0/0无意义，通常不判作等比数列。
等比数列是什么？四组对比讲透
等比数列是什么？一句话说，就是从第二项起，后一项与前一项的比始终等于同一个非零常数。只背这句话还不够，下面把它与等差数列、指数函数、等比级数和普通递推数列逐项对比，边答疑边划清边界。
对比二：等比数列与指数函数
等比数列是离散的，只在n=1、2、3等整数位置取值，通项为aₙ=a₁q^(n-1)。指数函数则通常定义在连续的实数区间，例如y=2ˣ可以计算x=1.5时的值。
两者的共同点是自变量每增加1，函数值乘上固定倍数。区别在于，等比数列强调按顺序排列的项；指数函数强调自变量与函数值的连续对应。q<0时，实数指数函数qˣ通常不能在全部实数上定义，但负公比等比数列仍可存在。
对比三：等比数列与等比级数
数列关注每一项是什么，级数关注这些项加起来是多少。2、1、1/2、1/4是等比数列；2+1+1/2+1/4则是它对应的等比级数。一个问aₙ，一个问Sₙ，别把对象混在一起。
有限项求和只要q≠1，可用Sₙ=a₁(1-qⁿ)/(1-q)。讨论无限项之和时，还要增加|q|<1这个条件，此时qⁿ趋近0，和才收敛到a₁/(1-q)。
对比四：等比数列与普通递推数列
所有等比数列都能写成aₙ₊₁=qaₙ，但能递推的不一定是等比数列。例如aₙ₊₁=2aₙ+1，每次除了乘2还多加1，相邻项比值不会固定。
判断时别看到“后一项由前一项得到”就贴上等比标签。真正的门槛只有两个：相邻项作比有意义，并且这个比值对所有对应项都保持不变。
常见问题
等比数列最简单的定义是什么？
从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个非零常数，这个常数叫公比，通常记作q。
1、-1、1、-1是等比数列吗？
是。每一项除以前一项都等于-1，所以公比q=-1。等比数列不要求各项同号，也不要求单调。
怎么证明一个数列是等比数列？
证明对所有适用的n，都有aₙ≠0且aₙ₊₁/aₙ等于同一个与n无关的非零常数。只验证前三项通常不足以证明整个数列。